点这里快速跳到最后的三个“度”的计算总结。
先介绍Nabla算符：
$$
\nabla = (
\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}
)
$$

梯度

设函数 \(f\) ，梯度如下
$$
\begin{align}
grad f & = \nabla f \newline
& = \frac{\partial f}{\partial x} \vec{i} +
\frac{\partial f}{\partial y} \vec{j} +
\frac{\partial f}{\partial z} \vec{k}
\end{align}
$$
可以记成是\(\nabla\)与函数\(f\)的向量数乘。

散度

设函数 \(f\) 表示向量场 \(f = f_x \vec{i} + f_y \vec{j} + f_z \vec{k}\) ，散度如下
$$
\begin{align}
div f
&= \nabla \cdot f \newline
&= \frac{\partial f_x}{\partial x} +
\frac{\partial f_y}{\partial y} +
\frac{\partial f_z}{\partial z}
\end{align}
$$
可以记成是\(\nabla\)与函数\(f\)的向量点乘（数量积）。

旋度

设函数 \(f\) 表示向量场 \(f = f_x \vec{i} + f_y \vec{j} + f_z \vec{k}\) ，旋度如下
$$
\begin{align}
curl f
&= \nabla \times f \newline
&= \begin{vmatrix}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \newline
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \newline
f_x & f_y & f_z
\end{vmatrix} \newline
&= (\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}) \vec{i} -
(\frac{\partial f_z}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial z}) \vec{j} +
(\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}) \vec{k} \newline
&= (\frac{\partial f_z}{\partial y} - \frac{\partial f_y}{\partial z}) \vec{i} +
(\frac{\partial f_x}{\partial z} - \frac{\partial f_z}{\partial x}) \vec{j} +
(\frac{\partial f_y}{\partial x} - \frac{\partial f_x}{\partial y}) \vec{k}
\end{align}
$$

总结

梯度：$$grad f = \nabla f$$
散度：$$div f = \nabla \cdot f$$
旋度：$$curl f = \nabla \times f$$
即梯度、散度和旋度可以依次记为 \(\nabla\) 与 \(f\) 的向量数乘、点乘和叉乘。